Producto Integrador Salazar

viernes, 1 de diciembre de 2017

ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO

Elementos notables de un Triángulo:

Interior:

Dado un punto en el plano euclídeo, diremos que éste es interior a un triángulo si al trazar una recta por él, dicho punto se halla entre los cortes con los lados del triángulo. De otro modo un punto es punto interior de un triángulo, si está en el interior de cada ángulo del triángulo. Si consideramos una región triangular su interior coincide con el interior definido según la topología usual del plano .

Frontera y exterior:

Los tres lados de un triángulo constituyen su frontera y los puntos del plano que no están en el interior ni en la frontera están en el exterior del triángulo. La unión del interior, del triángulo (frontera) y del exterior es igual al plano del triángulo. Cada par de los conjuntos aludidos tiene intersección vacía o son conjuntos mutuamente disjuntos.

Equivalencia topológica:

Cualquier triángulo es equivalente a una curva simple cerrada; en particular a una circunferencia. Esto es, entre una circunferencia y un triángulo se puede establecer una aplicación biyectiva y bicontinua.

Ceviana:

Ceviana es una recta que pasa por un vértice de un triángulo y por la recta que contiene al lado opuesto; algunos autores incluyen como ceviana a los lados del triángulo. Se consideran cevianas interiores, si contiene puntos del interior triangular; y cevianas exteriores, cuando pasa por el exterior del triángulo.

Mediana:

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto de un triángulo se llama mediana. En algunos países (por ej: Chile) se las llama transversales de gravedad, reservando en esos lugares el término medianapara lo que habitualmente se denomina paralela media.

SENO, COSENO, TANGENTE

Seno, Coseno y Tangente:

El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.

${\text{sen}}\alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}={\frac {a}{c}}.$

El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.

$\cos \alpha ={\frac {\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}={\frac {b}{c}}.$

La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente.

$\tan \alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}={\frac {a}{b}}.$

Nota: Los cocientes de las tres relaciones anteriores no dependen del tamaño del triángulo rectángulo.

Funciones inversas:

Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.

Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.

$\theta =\arcsin \left({\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}\right)$

Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa.

$\theta =\arccos \left({\frac {\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}\right)$

Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la del cateto adyacente.

$\theta =\arctan \left({\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}\right)$

En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sin⁻¹, cos⁻¹, etc., es frecuentemente utilizada en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación de arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde las funciones trigonométricas son comúnmente elevadas a potencias, pues esto evita la confusión entre el inverso multiplicativo y la función inversa.

CÁLCULO DE LADOS Y ÁNGULOS

Cálculo de los Lados y los Ángulos de un Triángulo:

En general, hay varios métodos aceptados para calcular la longitud de un lado y la medida de un ángulo. Mientras que ciertos métodos pueden ser adecuados para calcular los valores de un triángulo rectángulo, otros pueden ser requeridos en situaciones más complejas.

Para resolver triángulos (en general) se suele utilizar los teoremas del seno y del coseno, para el caso especial de triángulos rectángulos se utiliza generalmente el Teorema de Pitágoras.

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos:

En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo se denominan como sigue, con respecto a uno de los ángulo agudos:

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo.

El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo agudo considerado.

El cateto adyacente es el cateto que forma el ángulo agudo considerado.

Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90° (π/2 radianes), aquí etiquetado C. Los ángulos A y B puede variar. Las funciones trigonométricas especifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interiores de un triángulo rectángulo.

PUNTOS

Puntos Especiales:

Geométricamente se pueden definir varios casos que están ligados a un triángulo en sí o en relación a la posición de una circunferencia.

Baricentro o Centroide: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad.

Centros de circunferencias vinculadas:

Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatricesde los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.

Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.

Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.

Exincentros: son los centros de las circunferencias exinscritas. Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.

El único caso en que el baricentro, incentro, ortocentro y circuncentro coínciden es en el triángulo equilátero. Algunos de estos puntos caen en el interior, en el exterior o en el mismo triángulo, dependen de tipo. El ortocentro de un triángulo oblicuángulo está en el exterior; cuando se trata de un triángulo rectángulo isósceles el circuncentro no es sino el punto medio de la hipotenusa.

circuncentro incentro

ortocentro exincentro

OTRAS PROPIEDADES

Algunas otras propiedades son:

La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

El valor de la base media de un triángulo (segmento que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados o $\pi$ radianes.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

${\frac {a}{\sin(\alpha \,)}}={\frac {b}{\sin(\beta \,)}}={\frac {c}{\sin(\gamma \,)}}$

Todo polígono convexo de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos con interiores disjuntos, considerando un vértice del cual se trazan n-3 segmentos a los vértices no contiguos.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que establece: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos(\alpha \,)\,$
$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos(\beta \,)\,$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos(\gamma \,)\,$

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

$c^{2}=b^{2}+a^{2}\,$

El teorema de Pitágoras gráficamente.

De la ecuación anterior se deducen fácilmente 3 fórmulas de aplicación práctica:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$ $b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$ $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Mediante rotación, traslación, simetría axial y simetría puntual la imagen de un triángulo es un triángulo congruente al propuesto.
Dado un triángulo en el plano cartesiano se puede hallar la ecuación de una parábola circunscrita de eje horizontal o vertical.

PROPIEDADES; TRIÁNGULOS

Propiedades de los Triángulos:

Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices. El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo (tanto en el plano como en el espacio).

Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de la figura de la izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no coplanary no alineado, se obtiene un tetraedro que es el poliedro más simple y está conformado por 4 caras triángulares.

Un cuadrilátero con sus diagonales. Un tetraedro.

Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para esta división es n-2, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos.

En geometría euclidiana la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes:

Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180° (o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.

Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.

CORONA

Corona Triangular:

Se consideran dos triángulos semejantes con lados paralelos y con circuncentro común ( centro de la circunferencia circunscrita). La intersección del exterior del triángulo de menor área con el interior del triángulo de mayor área unida con los dos triángulos forma una región en el plano que se llama corona triangular.

La frontera de esta región es la unión de los dos triángulos. Un punto es interior si está entre las intersecciones que determina un rayo con origen en el circuncentro con los lados homólogos. El conjunto de los puntos interiores es el interior de la región. Un punto está en el exterior de la región si no está en la frontera ni en el interior. El interior es convexo, abierto y conexo. La frontera es la unión disjunta de dos poligonales cerradas. El exterior es un conjunto desconexo, abierto y no convexo. La corona triangular es un conjunto cerrado, conexo y convexo. La corona triangular es homeomorfa con la corona circular, tienen las mismas propiedades topológicas.